Her recent songs have been profoundly influenced by current events.

profoundly 是形容词 profound 的副词形式，profound 本意是"深刻的、深远的"，加上 -ly 后缀构成副词，表示"深刻地、深远地"。 在这里 profoundly influenced 表示"受到深刻影响"的程度。