For your mother's sake, please drive carefully.

your 是形容词性物主代词，表示"你的"。 mother's 是名词 mother 的所有格形式，表示"母亲的"。 sake 的意思是"缘故、利益"，常用于 for someone's sake 的结构中，表示"为了某人的缘故"。 for your mother's sake 表示"为了你母亲的缘故"，即"考虑到你母亲"的意思。