Each player's counter represents their piece on the board.

counter 在这里是名词，指"棋子、筹码"这类用于游戏计数的标记物。这个词来源于动词 count（计数），加上名词后缀 -er 表示"用于计数的物品"，在棋盘游戏中特指代表玩家位置的标记物。