My family backed me up in my fight for compensation.

backed 是动词 back 的过去式，back 在这里的意思是"支持、援助"。 up 是副词，与动词搭配时表示"完全地、彻底地"或"增强动作"。 back up 这个短语动词表示"支持某人"或"为某人提供后盾"，强调给予全面支持。