Please accept this champagne with the compliments of the manager.

with 在这里表示"伴随、带有"的意思，引出赠送物品时的附加说明。 the 是定冠词，特指后面的"compliments"。 compliments 是名词 compliment 的复数形式，意思是"赞美、敬意"，在这里指"心意、问候"。 of 表示所属关系，说明"心意"的来源。 with the compliments of 是一个固定搭配，表示"以...的名义赠送"或"作为...的心意"，常用于正式场合表达赠送之意。