I ran after her and managed to catch up.

catch 的基本意思是"抓住、接住"，在这里引申为"赶上"的意思。 up 在这里是副词，表示"向上、完全"的意思，与动词搭配使用时可以表示动作的完成或达到目标。 catch up 是一个短语动词，意思是"赶上、追上"，指从落后状态达到与他人相同的水平或位置。