I am writing with respect to your letter of 24 June.

with 在这里表示"以...方式"或"带着...态度"。 respect 的意思是"尊敬、尊重"，指一种礼貌的态度。 to 在这里表示"针对、关于"的对象。 with respect to 是一个固定短语，意思是"关于、就...而言"，用于正式场合中引出讨论的主题。