Many graduates move to big cities with the hope of making their way in their chosen professions.

making 是动词 make 的现在分词形式，make 的基本意思是"做、制造"，在这里构成短语。 their 是代词 they 的所有格形式，表示"他们的"。 way 的意思是"道路、方法"，在这里指"发展路径"或"事业道路"。 making their way 是一个固定短语，字面意思是"开辟他们的道路"，引申为"闯出一片天"或"取得成功"的意思。