We were very disappointed to hear that the actor was replaced by another at the last minute.

the 是定冠词，在这里特指"那个特定的时刻"。 last 的意思是"最后的"，指时间顺序上处于末尾的。 minute 的意思是"分钟"，引申为"片刻、瞬间"。 the last minute 是一个固定短语，字面意思是"最后一分钟"，实际指"最后一刻、紧要关头"，常用来形容事情在即将发生前的最后时刻突然发生变化。