Could you come over and keep me company this evening?

keep 的意思是"保持、维持"，在这里表示"持续某种状态"。 me 是代词 I 的宾格形式，指"我"。 company 在这里不是指"公司"，而是指"陪伴、作伴"的意思。 keep me company 是一个固定短语，意思是"陪伴我、和我作伴"。