I am writing with respect to your letter of 24 June.

with 在这里表示"以某种方式"或"带着某种态度"。 respect 本义是"尊敬、尊重"，在这里构成固定短语表示"关于"。 to 在这里与前面的词构成固定搭配。 with respect to 是一个固定短语，意思是"关于、就...而言"，常用于正式信函的开头。