Please accept this appetizer with the compliments of the executive chef.

with 在这里表示"伴随、附带"的意思。 the 是定冠词，特指后面的名词 compliments。 compliments 是名词 compliment 的复数形式，意思是"赞美、敬意"，这里指"赠品、敬赠"。 of 表示所属关系，连接 executive chef 和 compliments。 with the compliments of 是一个固定短语，意思是"由...敬赠"，常用于表示某物是某人免费赠送的。