You can watch it while it's eating: standing up on its back legs and holding the nut with its front legs, then putting all of it into one [of] its two "sacks" on either side of its mouth.

of 在这里表示所属关系，指"两个袋子中的一个"。 either 是代词，表示"两者中的任意一个"，在这里指"嘴巴两边的任意一边"。 side 的意思是"边、侧"，在这里指"嘴巴的两侧"。 either side 表示"两边中的任意一边"，强调可以选择其中一侧。