The guests were introduced and formally shook hands.

formally 是形容词 formal 的副词形式，由 formal（正式的）加上副词后缀 -ly 构成。formal 来自名词 form（形式、礼仪），表示"符合礼仪规范的、正式的"。formally 在这里表示"按照礼仪规范地、正式地"进行握手。