Studies show that cases of stomach ulcers are on the rise.

on 是介词，在这里表示"处于某种状态或过程中"。 the 是定冠词，在这里特指"上升"这一特定情况。 rise 是名词，意思是"上升、增加"。 on the rise 是一个固定短语，表示"在增加、呈上升趋势"。