I promise that when I come back I'll carry on studying.

carry 的基本意思是"携带、运送"，在这里引申为"进行、执行"。 on 作为副词时表示"继续、持续"的状态。 carry on 是一个固定短语，意思是"继续做某事"，强调在中断后继续原来的活动。