The library provides visitors with the use of its research facilities.

the 是定冠词，在这里特指图书馆的研究设施。 use 是名词，意思是"使用、利用"。 of 是介词，表示所属关系或关联。 the use of 是一个固定搭配，表示"对...的使用"，在这里指"使用(研究设施)的权限"。