They would have difficulty sleeping outdoors.

difficulty 是名词，来自形容词 difficult（困难的），表示"困难、难题"的意思。在这里指"难以做到某事的状态或情况"。 sleeping 是动词 sleep 的现在分词形式，sleep 意思是"睡觉"，现在分词形式表示"正在睡觉"或"睡觉这个行为"。 have difficulty doing sth 是一个固定搭配，表示"做某事有困难"，其中 doing 是动名词形式。