I can feel the stress of the last few weeks beginning to catch up with me.

catch 的基本意思是"抓住、捕捉"，在这里用于比喻意义。 up 表示"向上"或"接近"，在短语中表示"赶上"的意思。 with 表示"伴随、和...一起"。 catch up with 是一个固定短语，字面意思是"赶上某人"，在这里引申为"（负面事物）开始对某人产生影响"。