We were very disappointed to hear that the actor was replaced by another at the last minute.

the 是定冠词，在这里特指某个特定的"最后一刻"。 last 的意思是"最后的"，表示时间或顺序上的末尾。 minute 的意思是"分钟"，在这里指"时刻"。 the last minute 是一个固定短语，意思是"最后一刻"，指事情发生前的最后时刻。