Construction on the new library should begin in the latter part of next year.

latter 是形容词，意思是"后者的"或"较后的"，通常用于比较两个事物中时间或顺序靠后的那个。在这里指"明年时间靠后的部分"，即"下半年"。 latter 常与 former（前者的）对应使用，但在这个句子中单独出现，仅表示时间顺序上的靠后。