He's welcome to come along, provided that he behaves himself.

provided 是动词 provide 的过去分词形式，在这里用作连词，表示"以...为条件"、"只要"的意思。 that 在这里是引导条件状语从句的连词，本身没有实际含义，主要起连接作用。 provided that 是一个固定搭配，表示"只要...就..."，用于引出某个条件。