It took the better part of the afternoon to put those shelves up.

the 是定冠词，在这里特指"下午"这个时间段。 better 是形容词 good 的比较级形式，意思是"更好的"，但在这个短语中不表示比较，而是表示"较大的"或"主要的"。 part 是名词，意思是"部分"。 of 是介词，表示所属关系。 the better part of 是一个固定短语，意思是"大部分"或"大半个"，用来表示某事物的主要或较大部分。