We discussed the problem at some length.

some 在这里用作副词，表示"相当、某种程度上"的意思，用于强调程度。 length 是名词，本义是"长度"，在这里引申为"时间长度、详细程度"。 at some length 这个短语表示"相当详细地、花了不少时间地"，强调讨论的深入和细致。