I don't have the slightest idea how to solve this puzzle.

slightest 是形容词 slight 的最高级形式，slight 的意思是"轻微的、微小的"。 slightest 在这里表示"最微小的"，用于否定句中强调"完全没有"的概念，not the slightest idea 就是"完全没有想法"的意思。