The document, which we thought was lost, was happily recovered from the old backup drive.

happily 是形容词 happy 的副词形式，happy 意思是"快乐的、高兴的"，加上 -ly 后缀变成副词，表示"快乐地、幸运地"。 在这里 happily 修饰动词 recovered，表示"幸运地恢复"，强调找回文件这件事的幸运性。