We met on Tuesday for the first time and went skating straight away, without even discussing where we were going.

straight 在这里是副词，意思是"直接地、径直地"，表示动作没有经过其他环节。 away 在这里是副词，与 straight 搭配使用，表示"立刻、马上"的意思。 straight away 是一个固定搭配的副词短语，意思是"立即、马上"，强调动作紧接着发生，没有任何耽搁。