For both our sakes, let's try to find a compromise.

both 的意思是"两者都"，指代前文提到的双方或多方中的两个。 our 是形容词性物主代词，表示"我们的"，指说话者和听话者共同拥有的东西。 sakes 是 sake 的复数形式，sake 的意思是"缘故、利益"。 both our sakes 这个短语字面意思是"为了我们双方的利益"，可以理解为"为了我们双方好"或"为了我们彼此"。