Many athletes spend their entire careers chasing that elusive Olympic gold medal.

chasing 是动词 chase 的现在分词形式。chase 的意思是"追逐、追赶"，既可以指实际的追赶动作，也可以比喻为追求某个目标或梦想。在这里用现在分词形式表示持续进行的动作状态。