I tried to tell the serious story, but I couldn't keep a straight face.

keep 在这里是动词，意思是"保持"某种状态。 a 是不定冠词，表示"一个"。 straight 本义是"直的"，这里引申为"不弯曲的、不扭曲的"，形容面部表情。 face 指"脸、面部"。 keep a straight face 是固定搭配，字面意思是"保持一张不扭曲的脸"，实际表示"保持严肃表情、忍住不笑"的意思。