This resemblance was the final silent argument that convinced Wormold to promise Milly the expensive and beautiful horse she had set her sights on.

set 在这里是动词，意思是"确定、选定"。 her 是代词，指代 Milly 自己。 sights 是名词 sight 的复数形式，sight 本意是"视线、视野"，引申为"目标、想要的东西"。 on 是介词，表示"关于、在...上"。 set one's sights on 是一个固定短语，意思是"看中、把...作为目标"，表示某人非常想要某样东西。