Please check the mailbox on a weekly basis.

on 在这里表示"基于...的方式"，用于构成固定搭配。 a 是不定冠词，在这里表示"一种"或"一个"。 weekly 是形容词，由名词 week（周）加后缀 -ly 构成，表示"每周的"。 basis 是名词，意思是"基础、基准"。 on a weekly basis 是一个固定短语，意思是"每周一次"，表示以周为单位定期做某事。