The rumor spread quickly by word of mouth.

by 在这里表示"通过某种方式或途径"。 word 本义是"词语、话语"，在这里指"口头表达的内容"。 of 表示所属关系，连接两个名词。 mouth 本义是"嘴巴"，在这里指"口头表达"。 word of mouth 是一个固定短语，字面意思是"嘴巴说出的话"，实际指"口头传播、口耳相传"的方式。