Our family story begins at the turn of the century, when my grandfather immigrated.

the 是定冠词，在这里特指某个特定的时间点。 turn 在这里不是"转动"的意思，而是指"转折点"或"交替时期"。 of 表示所属关系，连接两个名词。 the 再次出现，与前面的 the 一起构成固定搭配。 century 意思是"世纪"，指一百年的时间跨度。 the turn of the century 是一个固定短语，意思是"世纪之交"，指一个世纪结束和另一个世纪开始的交替时期。