She is determined to make a name for herself in contemporary art.

make 在这里是动词，意思是"创造、建立"。 a 是不定冠词，表示"一个"。 name 是名词，意思是"名字、名声"。 for 是介词，表示"为了"。 herself 是反身代词，指"她自己"。 make a name for herself 这个短语的意思是"为自己赢得名声"或"闯出名堂"，指通过努力获得声誉和认可。