Students learned of the center by word of mouth.

by 是介词，在这里表示"通过某种方式"。 word 的本义是"词语、话语"，引申为"消息、信息"。 of 是介词，表示所属关系。 mouth 的本义是"嘴"，引申为"口头表达"。 word of mouth 是一个固定短语，字面意思是"口头的话语"，实际指"口口相传、口头传播"的方式。