Their hope rested on a successful organ transplant.

hope 是名词，意思是"希望"，指对美好结果的期待或愿望。 rested 是动词 rest 的过去式，rest 本意是"休息"，在这里引申为"寄托、依靠"的意思。 hope rested on 这个短语表示"希望寄托在...上"，强调把全部希望都放在某件事情上。