He has recently handed over the day-to-day running of the museum to his daughter.

running 是动词 run 的现在分词形式，run 在这里表示"经营、管理"的意思。running 作为名词使用时，指"日常运营、管理工作"。 day-to-day running 这个短语表示"日常运营工作"，强调每天都需要进行的常规管理事务。