Living in a conflict zone meant the family was constantly on edge.

on 在这里是介词，表示"处于某种状态"。 edge 本义是"边缘"，引申为"紧张不安的状态"。 on edge 是一个固定短语，意思是"紧张不安、提心吊胆"，形容因为担心危险即将发生而感到焦虑的状态。