Their childhood was rather unhappy because their father was convicted [of] murder and hanged.

of 是介词，表示"关于、属于"的意思，在这里引出被定罪的罪名。 hanged 是动词 hang 的过去分词形式，hang 本意是"悬挂"，在表示"绞刑"时过去分词形式为 hanged（区别于表示"悬挂"时的 hung）。