I'm looking for a new backpack for school.

looking 是动词 look 的现在分词形式，look 的基本意思是"看"，在这里与 for 搭配使用。 for 是介词，表示目的或对象，在这里表示寻找的目标。 looking for 是一个固定短语，意思是"寻找"，表示正在进行的寻找动作。