I bought this book the other week.

the 是定冠词，在这里特指某个特定的时间。 other 的意思是"其他的、另外的"，在这里与 week 搭配使用。 week 的意思是"周、星期"。 the other week 是一个固定短语，意思是"前几周"或"不久前的一个星期"，用来指代过去某个不具体说明的星期。