I will write to you again soon and I hope you will do the same.

the 是定冠词，用于特指某事物或人，这里特指前面提到的"写信"这个行为。 same 是形容词，意思是"相同的、一样的"，指与前面提到的情况相同的行为。 the same 在这里指"做同样的事情"，即"也写信给我"。