Supervisors should verify that all staff have executed their assigned duties properly.

executed 是动词 execute 的过去分词形式。execute 由前缀 ex-（表示"完全"）和词根 secut（来自 sequi，表示"跟随"）组成，原意是"完全跟随（指令）"，引申为"执行、实施"的意思。在句中表示员工已经完成了被分配的任务。