At the touch of a button, the door opened.

touch 在这里是名词，意思是"触碰、接触"。原形是动词 touch（触摸），在这里转化为名词表示"触碰的动作"。 of a button 表示"按钮的"，整个短语 at the touch of a button 字面意思是"在按钮的触碰下"，引申为"按一下按钮"的意思。