I do not have the faintest idea who gave me those mugs.

not 是否定词，表示"不"或"没有"。 have 是动词，表示"拥有"或"持有"。 the 是定冠词，用于特指某个事物。 faintest 是形容词 faint 的最高级形式，faint 本义是"微弱的"，这里引申为"最微小的"。 idea 是名词，意思是"想法"或"概念"。 not have the faintest idea 是一个固定短语，字面意思是"连最微小的概念都没有"，引申为"完全不知道"或"毫无头绪"。