Please keep us posted on the progress of the project.

keep 在这里是动词，意思是"保持、维持"某种状态。 posted 是动词 post 的过去分词形式，post 本意是"张贴、公布"，引申为"告知、通知"的意思。 keep someone posted 是一个固定短语，意思是"随时向某人通报最新情况"。