I bought a new book the other day.

the 是定冠词，在这里特指某个特定的时间。 other 的意思是"其他的"，在这里与 day 搭配使用。 day 的意思是"天、日"。 the other day 是一个固定短语，意思是"前几天"或"不久前的一天"，通常指过去几天内的某个时间点。