Why on earth would anyone think that's a good idea?

why 是疑问词，表示"为什么"。 on 是介词，表示"在...上"。 earth 本义是"地球"，在这里用于强调。 on earth 是一个固定搭配，用于疑问句或否定句中加强语气，表示"究竟、到底"，相当于"in the world"。