They don't usually take cheques, but they said they'd make an exception in my case.

make 是动词，意思是"做、制造"，在这里表示"作出(某种行为)"。 an 是不定冠词，表示"一个"。 exception 是名词，来自动词 except（排除），意思是"例外、特殊情况"。 make an exception 是固定搭配，表示"破例、给予特殊处理"。